Harmonic Series: Menumpuk Balok to Infinity!

Pernahkah kalian menyusun balok seperti anak tangga, saling menjorok ke satu arah, sampai bagian paling atas menggantung jauh di luar meja tanpa jatuh? Kira-kira, ada berapa banyak balok maksimal yang bisa ditumpuk seperti ini agar "menara" itu tetap berdiri tegak? Yuk, kita bahas sama-sama!

Mulai dari yang paling gampang: 1 balok

Mulai sekarang, anggap semua balok yang kita pakai punya panjang $L$ satuan dan berat $M$ kg.

Kita letakkan balok itu di ujung meja dan usahakan supaya dia tetap seimbang. Supaya seimbang, jarak antara ujung balok yang tidak menyentuh meja dengan ujung meja harus bernilai $L/2$ — alias, separuh balok menjorok keluar dari meja.

Kenapa harus $L/2$? Karena gaya berat yang ditopang oleh bagian balok yang ada di atas meja dan yang menjorok keluar harus sama besar, masing-masing $\dfrac{M}{2}g$, dengan $g$ adalah percepatan gravitasi. Titik berat balok itu sendiri ada tepat di tengah, jadi kalau titik itu kita taruh persis di ujung meja, baloknya tidak akan jatuh.

Sekarang, bagaimana kalau kita tambah satu balok lagi di atasnya?

Triknya sama: kita cuma perlu memastikan titik berat gabungan dari semua balok yang ada selalu berada tepat di atas ujung meja (atau ujung balok penopang di bawahnya).

Misalnya balok pertama sudah diletakkan seimbang di atas balok kedua, menjorok sejauh $L/2$ dari ujung balok kedua. Sekarang kita geser balok kedua sejauh $x$ dari ujung meja, supaya titik berat gabungan kedua balok itu tepat berada di ujung meja. Posisi titik berat balok pertama relatif terhadap ujung meja pun menjadi $x - L/2$.

Supaya sistem dua balok ini seimbang tepat di ujung meja, titik beratnya harus sama dengan nol:

$$\frac{M_1 x + M_2\left(x - \dfrac{L}{2}\right)}{M_1 + M_2} = 0$$

Karena $M_1 = M_2 = M$, persamaan ini bisa kita selesaikan dan kita dapatkan $x = L/4$.

Artinya, balok kedua boleh menjorok $L/4$ lebih jauh dari balok pertama. Total jarak ujung meja ke ujung balok paling atas sekarang menjadi:

$$\frac{L}{2} + \frac{L}{4}$$

Bagaimana kalau ada 3 balok?

Logika yang sama kita ulangi: sekarang dua balok teratas (balok 1 dan 2) kita anggap sebagai satu kesatuan, lalu kita cari jarak geser $x$ supaya kesatuan ini plus balok ketiga tetap seimbang di ujung meja:

$$\frac{(M_1 + M_2)x + M_3\left(x - \dfrac{L}{2}\right)}{M_1 + M_2 + M_3} = 0$$

Dengan cara yang sama, kita dapatkan $x = L/6$. Maka total jarak ujung meja ke ujung balok paling atas untuk 3 balok adalah:

$$\frac{L}{2} + \frac{L}{4} + \frac{L}{6}$$

Sudah mulai kelihatan polanya?

Kalau kita perhatikan pola dari 1, 2, dan 3 balok, untuk $n$ balok, jarak antara ujung meja dengan ujung balok paling atas adalah:

$$\frac{L}{2} + \frac{L}{4} + \frac{L}{6} + \dots + \frac{L}{2n}$$

Kalau kita faktorkan $L/2$ keluar, bentuknya menjadi:

$$\frac{L}{2}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right)$$

Atau, bisa kita sederhanakan menjadi:

$$\frac{L}{2}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}$$

Nah, bentuk $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}$ ini adalah bentuk yang kerap disebut sebagai Harmonic Series (deret harmonik)!

Harmonic series adalah deret tak hingga yang bersifat divergen. Artinya, semakin banyak suku yang kita jumlahkan, nilainya akan terus membesar tanpa henti:

$$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \to \infty \quad \text{saat } N \to \infty$$

Kesimpulannya, secara teoretis ada tak hingga balok yang bisa disusun seperti sistem tadi, sehingga jarak maksimum antara ujung meja dengan balok paling atas juga tak hingga besarnya!

Dalam matematika, hal yang tak mungkin bisa menjadi mungkin

Kalau membayangkannya secara langsung, rasanya mustahil menumpuk balok sampai jumlahnya tak hingga tanpa jatuh. Namun, secara matematis, ternyata menyusun balok hingga jumlah tak hingga banyaknya dan tetap seimbang itu mungkin terjadi — asal setiap baloknya digeser dengan jarak yang pas, mengikuti pola deret harmonik ini.